Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: . В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным и, в общем случае, зависеть от времени . Так, например, в неинерциальной системе связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством — координаты в инерциальной системе, и — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть:

Инвариантная производная по времени от скаляра в неинерциальной системе есть:

.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую . Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

;

.

Следовательно,

;

.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства . То есть,

,

,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля , которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе,- суть дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

Литература

• Д. Е. Бурланков, Динамика пространства. Монография 2005 г. 179 стр.