12-09-2023
Производная Ли тензорного поля по направлению векторного поля — главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .
Обычно обозначается .
Содержание |
Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.
Пусть — -мерное гладкое многообразие и — векторное поле на .
Рассмотрим поток по , определяемый соотношением:
Обратное отображение к дифференциалу ,
однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры тензоров над в алгебру тензоров над . Таким образом произвольное тензорное поле , однопараметрическое семейство полей . Производная Ли может быть определена как
, где — скаляр.
, где — вектор, а — его компоненты.
, где — 1-форма, а — её компоненты.
, где — 2-форма (метрика), а — её компоненты.
Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:
,
где , и введены следующие обозначения:
,
— объект неголономности.
Пусть векторное поле есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства в каждый момент времени определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.
Пусть — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: . Произвольное векторное поле порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов , продолжающуюся с помощью на пространство расслоения , то есть . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле , являющееся продолжением . Группа также позволяет определить производную Ли по от произвольных сечений по такой же формуле, как и в классическом случае:
Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения , то есть ядра отображения , так как . Если — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм . Оператор вертикального проектирования позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:
Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид , где — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования определяется по формуле
Здесь — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме определяется через суперкоммутатор операторов:
Её значение определяется тем, что любое дифференцирование супералгебры однозначно представимо в виде , где , — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.
Производная Ли.