Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность с центром (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом . Инверсия точки относительно есть точка , лежащая на луче такая, что

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» и считают её инверсным образом , а  — инверсным образом . В этом случае, инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Инверсия относительно окружности с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
• Окружность или прямая, перпендикулярная к , переходит в себя.

Построение

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом^[1]:

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой , то это выражение можно представить в виде

,

где  — комплексно сопряжённое число для . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке и радиусом задаётся соотношением

.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса с центром в начале координат задаётся соотношением

.

Применение

С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.

Примечания

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия. М.: МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. Гл. III, § 4.