15-08-2023
Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса).
Содержание |
Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство ограниченных действительнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на множестве , удовлетворяющее следующим аксиомам:
Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал , называемый элементарный интеграл.
В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество , являющееся подмножеством , имеет меру ноль, если для любого существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций такая, что и на .
Если некоторое условие выполняется на везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.
Рассмотрим множество , состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов ограничено. Интеграл функции по определению равен:
Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности .
С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Рисcа — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.
Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.
Такое построение обобщённого интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Даниелю интеграл строится более просто.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Интеграл Даниэля.