Квантовый газ — газ, состоящий из (квази)частиц, де-бройлевская длина волны которых намного превышает их радиус взаимодействия.

Свойства квантового газа зависят от степени его вырождения, характеризующегося температурой вырождения. Температура вырождения зависит от плотности газа, ,  — концентрация частиц,  — масса частицы,  — постоянная Больцмана. При условии газ является невырожденным и распределение частиц по энергиям описывается распределением Больцмана. В случае газ попадает в область квантового вырождения и представляет собой, в зависимости от статистики частиц, вырожденный Ферми-газ (полуцелый спин, Статистика Ферми — Дирака) или Бозе-газ (целый спин, Статистика Бозе — Эйнштейна).

Модель квантового газа широко применяется для решения задач физики твердого тела (электронный газ в металлах), астрофизики (свойства белых карликов и нейтронных звезд), физики конденсированного состояния (сверхтекучесть).

Различают идеальный (пренебрежение взаимодействием частиц) и реальный квантовый газ.

Идеальный квантовый газ

Условием идеальности квантового газа является, фактически, условие разреженности , где  — длина рассеяния частиц или, что то же, . При , где  — температура вырождения, свойства квантового газа во многом не зависят от статистики составляющих его частиц. В противоположном случае, свойства Бозе- и Ферми-газа принципиально различны.

Статсумма идеального Бозе-Ферми газа задается формулой

где  — статсумма одноуровневой системы, суммирование происходит по всем уровням системы, верхние знаки соответствуют случаю Ферми-, нижние — Бозе-газа,  — одночастичный гамильтониан,  — химический потенциал газа. Соответствующий этой статсумме термодинамический потенциал (большой термодинамический потенциал Гиббса):

,

где  — объем системы,  — постоянная Планка,  — вырождение по спину.

Среднее число частиц на уровне: .

Интегралы в термодинамическом потенциале сводятся к спецфункциям: функции Ферми-Дирака

для случая Ферми-газа и обобщенной -функции Римана

для случая Бозе-газа.

Если ввести функцию

то термодинамический потенциал можно переписать в виде

Тогда уравнения состояния и основные термодинамические характеристики квантового идеального газа можно записать в общем для Ферми- и Бозе-газа виде. Так, уравнения состояния принимают вид:

а выражение для энтропии:

Также, можно написать и выражения для теплоемкости:

Низкотемпературное поведение Ферми-газа

При подинтегральное выражение в формуле для функции теряет непрерывность. Скачок функции происходит при энергии, равной  — энергии Ферми. Когда температура близка, но отлична от нуля, подинтегральное выражение можно разложить в ряд (по параметру ) и интеграл принимает вид:

Подставляя это выражение в уравнения состояния и выражения для термодинамических характеристик, получаем:

Решая первое уравнение методом итераций находим выражение для химического потенциала и энергии Ферми:

Таким образом, при близкой к нулю температуре, идеальный Ферми-газ находится в основном состоянии, его частицы занимают все уровни энергии вплоть до , а все уровни выше свободны.

Необходимо отметить, что приближение идеального газа не описывает множество важных эффектов, таких как явление сверхпроводимости, сверхтекучести и т. д.

Низкотемпературное поведение Бозе-газа

При понижении температуры или увеличении плотности Бозе-газа параметр , следовательно химический потенциал и обратится в нуль при конечных значениях , связанных соотношением . При этом заселенность нулевого уровня формально равно бесконечности, поэтому точка называется точкой Бозе-конденсации. Явление Бозе-конденсации невозможно описать в рамках приближения идеального Бозе-газа, поэтому ограничимся описанием поведения Бозе-газа в окрестности точки Бозе-конденсации.

Асимптотикой функции при является

откуда при следует выражение для химического потенциала: где  — отклонения от точки Бозе-конденсации.

Для расчета энтропии и теплоемкости также понадобятся асимптотики функций и , которые могут быть получены аналогично предыдущей и имеют вид:

См. также

• Уровень Ферми
• Конденсат Бозе — Эйнштейна
• Сверхпроводимость
• Сверхтекучесть

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.
• Куни Ф. М. Статистическая физика.
• Налимов М. Ю., Новожилова Т. Ю. Квантовые газы.