12-07-2023
Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.
Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.
В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией есть
где
В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:
Содержание |
Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (где — квантовая концентрация).
Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.
Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы в состоянии 1 и частицы в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы в состоянии 1 и частицы в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.
Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид
где
В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято частицами, то энергия системы — . Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.
Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся и соответственно. Видно, что , , и , . Поэтому функция распределения принимает вид:
Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии вычисляется по формуле
Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии , вероятность которого
называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры , есть вероятность того, что состояние с энергией будет занято фермионом. Обратите внимание, что является убывающей функцией от . Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.
Обратите внимание, что энергетический уровень имеет вырождение . Теперь можно произвести простую модификацию:
Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией .
Для всех температур , . Это означает, что состояния с энергией всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.
В пределе , становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается , то есть
Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми , что часто используется, как аппроксимация, . В реальности же:
Термодинамические состояния вещества | |
---|---|
Твёрдое тело | |
Жидкость | |
Газ | |
Плазма |
Электромагнитная • Кварк-глюонная • Глазма |
См. также |
Сверхкритическая жидкость • Вырожденный газ • Конденсат Бозе — Эйнштейна • Странная материя • Кривая охлаждения • Твёрдый гелий (λ-точка) • Квантовая жидкость (Сверхтекучесть • Сверхтекучее твёрдое тело) • Дисперсная система (Раствор • Коллоидные • Грубодисперсная • Свободнодисперсная коллоидная (Дым • Золи)) • Термодинамическая фаза • Фазовый переход • Нормальные и стандартные условия • Статистика Ферми — Дирака • Уравнение состояния • Теория катастроф |
Статистика Ферми — Дирака.