В функциональном анализе компа́ктным (или вполне непрерывным) опера́тором называется линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство такой, что всякое ограниченное подмножество в отображается в предкомпактное множество пространства . Компактный оператор непременно ограничен, а значит, и непрерывен (этим оправдывается его второе название).
Свойства
- Любой конечномерный оператор компактен. Вообще, класс компактных операторов является обобщением класса конечномерных операторов на бесконечномерные пространства.
- Множество компактных операторов с естественными операциями является замкнутым подпространством в пространстве ограниченных операторов.
- Композиция двух компактных операторов — компактный оператор.
- Оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество.
- Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен. (Это следует из теоремы Рисса о единичных шарах).
- Если T — компактный оператор, действующий из X в X, то оператор id − T (компактное возмущение тождественного оператора) — фредгольмов оператор индекса 0.
- Если T — компактный оператор, действующий из X в X, где X — гильбертово пространство, то он является пределом последовательности из конечномерных операторов (по операторной норме), то есть гильбертовы пространства обладают свойством аппроксимации. Произвольные банаховы пространства таким свойством могут и не обладать, см. пример Энфло.
- Если T — компактный оператор между гильбертовыми пространствами, то имеет место теорема Шмидта.
- Все интегральные операторы, действующие в пространстве на отрезке, компактны.
- Оператор, сопряжённый к компактному, компактен.
Примеры
Возьмём произвольную функцию . Тогда определённый следующим образом оператор будет компактным:
См. также