Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа a по модулю m называется наименьшее положительное целое число , такое, что

Показатель определен только для чисел a, взаимно простых с модулем m, то есть для элементов группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. При этом, если показатель числа a по модулю определен, то он является делителем значения функции Эйлера (следствие теоремы Лагранжа).

Чтобы показать зависимость показателя от a и m, его также обозначают , а если m фиксировано, то просто .

Свойства

• , поэтому можно считать, что показатель задан на классе вычетов по модулю m.
• . В частности, и , где — функция Кармайкла, а — функция Эйлера.
• ; если , то
• Если p — простое число и , то — все решения сравнения .
• Если p — простое число, то — образующая группы .
• Если — количество классов вычетов с показателем , то . А для простых модулей даже .
• Если p — простое число, то группа вычетов циклична и потому, если , где g — образующая, , а k взаимно просто с , то . В общем случае для произвольного модуля m можно вывести аналогичную формулу, пользуясь теоремой о структуре мультипликативной группы вычетов.

Пример

Так как , но , , , то порядок числа 2 по модулю 15 равен 4.

Вычисление

Если известно разложение модуля m на простые множители и известно разложение чисел на простые множители, то показатель заданного числа a может быть найден за полиномиальное время от . Для вычисления достаточно найти разложение на множители функции Кармайкла и вычислить все для всех . Поскольку число делителей ограничено многочленом от , а возведение в степень по модулю происходит за полиномиальное время, то алгоритм поиска будет полиномиальным.

См. также

• Дискретное логарифмирование
• Функция Кармайкла

Литература

• Бухштаб Теория чисел
• Виноградов Теория чисел