Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского^[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что , где  — площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .

В общем случае:

Примеры

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает комплексное сопряжение .

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает ковариацию, а  — дисперсию.

Доказательство

• Если то верно следующее

Значит дискриминант многочлена неположительный, то есть

Следовательно,

• Если то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде

Определим вектор Тогда

и

К скалярному произведению применим результат первого пункта доказательства.

Литература

Примечания