Дискримина́нт многочлена , есть произведение

, где  — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• , где  — результант многочлена и его производной .
  • В частности, дискриминант многочлена

равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

Примеры

• Дискриминант D квадратного трёхчлена равен . При корней — два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

• Дискриминант многочлена равен

• В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[1].

Примечания