В математике, результантом двух многочленов и над некоторым полем , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов и (лежащих, быть может, вне поля ), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов и . Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( и соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

Свойства и способы вычисления

• Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов и , равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов и имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля ).
• Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
• Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
• Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики ноль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):

Ссылки

• Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».