Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Формула

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

Вывод

Представим уравнение в виде

где - корни уравнения.Тогда

Примем:

Тогда , решая уравнение (2) получим выражение для каждого через α и β. Одним из корней будет . Подставив его в уравнение (1) получим.

Подставляя q из (2), приходим к системе:

Зная, что в общем случае сумма не равна нулю получаем систему

которая равносильна системе

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней и квадратного уравнения:

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968 г. — с. 47.
Онлайн решение кубического уравнения
http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php