Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Свойства

Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.
Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где — сопряжённое, а — обратное преобразования.

В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы.
Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование).
В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

$\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix},$

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

$\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования евклидова -мерного пространства справедливо такое разложение

где все подпространства и попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования , причём:

ограничение на есть (тождественное преобразование),
ограничение на есть ,
все пространства двумерны (плоскости), и ограничение на есть поворот плоскости на угол .

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид:

$A = \left(\begin{matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & \ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \\ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & \ddots & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_1} & {} & {} \\ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_k} \\ \end{matrix}\right),$

где — матрица поворота на угол (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства и число минус единиц равно размерности подпространства .

Такая запись матрицы ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

Литература

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем