Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

Свойства

• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

и

где , n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:

• Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
• Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и

Примеры

• — единичная матрица

• — пример матрицы поворота

• — пример перестановочной матрицы

См. также

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование

Примечания