Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.,\quad x\in U$

$L_A f= a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$

для всех из области . Другими словами, функция постоянна на любом решении системы, содержащемся в области .

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть — область в , — дифференцируемое векторное поле в , , . Тогда существует такая окрестность точки , что система дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.$

имеет в этой окрестности ровно функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения относительно функции первым интегралом является функция (полная энергия в физических приложениях).

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.