Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно операции, определяющей .

Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. содержит единичный элемент из
2. содержит произведение любых двух элементов из ,
3. содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент .

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

Примеры

• Подмножество группы , состоящее из одного элемента , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы .
• Сама также является своей подгруппой.

Связанные определения

• Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
• Сама группа и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
• Пересечение всех подгрупп группы , содержащих все элементы некоторого непустого множества , называется подгруппой, порожденной множеством , и обозначается .
• Если состоит из одного элемента , то называется циклической подгруппой элемента .
  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
• Если группа изоморфна некоторой подгруппе группы , то говорят, что группа может быть вложена в группу .

Свойства

• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы является подгруппой группы .
• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп и называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.