В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамель (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

с начальными условиями

Решение имеет вид:

Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путем нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

где

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Определим , - характеристическaя функция на интервале . Тогда

есть обобщённая функция.

есть решение ОДУ.

Для уравнений в частных производных

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

где

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

где это ОДУ порядка m по t. Пусть это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в .

Для каждого решим

Определим . Тогда

есть обобщённая функция.

есть решение уравнения (после перехода назад к x).

Примечания