Проективная модель (называемая также Модель Клейна и модель Бельтрами — Клейна) — модель геометрии Лобачевского, предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами. Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо.

С её помощью доказывается непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

История

Эта модель была предложена Бельтрами, наряду с моделью Пуанкаре и моделью псевдосферы^[1]

Ещё раньше, в 1859 г. эту модель построил Кэли. Но он рассматривал её лишь как некоторую конструкцию в проективной геометрии и, видимо, не заметил никакой связи её с неевклидовой геометрией. В 1869 г. с его работой познакомился молодой (20-летний) Клейн. Он вспоминает, что в 1870 г. сделал доклад о работах Кэли на семинаре Вейерштрасса и, как он пишет, «закончил его вопросом, не существует ли связи между идеями Кэли и Лобачевского. Я получил ответ, что это — две далеко отстоящие по идее системы». Как говорит Клейн, «я позволил переубедить себя этими возражениями и отложил в сторону уже созревшую мысль». Однако в 1871 г. он к этой мысли вернулся, оформил её математически и опубликовал^[2].

Модель

Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («абсолюта»). Точки абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда абсолюта, соединяющая две идеальные точки.

Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие внутренность абсолюта в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ лежат на хорде ${\displaystyle PQ}$ так, что порядок их следования на прямой ${\displaystyle PABQ}$, тогда расстояние ${\displaystyle \ell (A,B)}$ в плоскости Лобачевского определяется как

${\displaystyle \ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{\rm {ln}}(PQ;BA)}$

где ${\displaystyle (PQ;BA)}$ обозначает двойное отношение, ${\displaystyle R}$ — радиус кривизны плоскости Лобачевского.

Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку ${\displaystyle O}$, не лежащую на данной хорде ${\displaystyle a}$, проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.

Литература

• Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания