02-08-2023
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде
если существует.
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением
Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда
Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:
где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
, то
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
Функция | Производная | Примечание |
---|---|---|
Доказательство
|
||
Доказательство
|
||
Определим производную вектор-функции по параметру:
Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
Производная функции.