12-05-2023
Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:
Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной отображает некоторый интервал вещественных чисел в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).
Выбрав координатные орты , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):
Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.
Говорят, что вектор-функция имеет предел в точке , если (здесь и далее обозначают модуль вектора ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:
Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.
Определим производную вектор-функции по параметру:
Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.
Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.
В координатах уравнение имеет вид:
Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём не обращается тождественно в ноль.
Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:
где t — параметр кривой. Зависимости предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:
Если на поверхности нет особых точек ( нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.
Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.
Векторы и матрицы | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Векторы |
|
||||||||
Матрицы |
|
||||||||
Другое | Векторное исчисление • Система линейных алгебраических уравнений • Векторная функция • Билинейная форма • Квадратичная форма |
Вектор-функция.