15-10-2023
.
В математике простым числом Эйзенштейна называется целое число Эйзенштейна
являющееся неприводимым (что эквивалентно простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец. Делителями целых чисел Эйзенштейна являются только единицы (±1, ±ω, ±ω2), a + bω и их произведения.
Умножение на единицу и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.
Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда одно из следующих взаимоисключающих условий выполняется:
Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.
Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, которые равны натуральным простым 3n − 1 :
Натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:
Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными
С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, - это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.
К марту 2010 наибольшим известным натуральным простым Эйзенштейна было 19249 × 213018586 + 1, которое в десять раз больше наибольшего простого числа, найденного Константином Агафоновым.[1] Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна, обнаруженные GIMPS. Натуральные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, простые числа Мерсенна являются также простыми числами Эйзенштейна.
Простые числа Эйзенштейна.