Целые числа Эйзенштейна

Целые Эйзенштейна как точки треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике целыми числами Эйзенштейна (названы в честь Фердинанда Эйзенштейна), известные также ^[1] под именем числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), называются комплексные числа вида

где a и b - целые и

кубические корни из единицы (не вещественные). Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на ко́мпле́ксной плоскости, в отличие от целых Гаусса, которые формируют квадратную решетку на ко́мпле́ксной плоскости.

Свойства

Целые Эйзенштейна формируют коммутативное кольцо Алгебраических чисел в поле алгебраических чисел Q(ω) — круговое поле третей степени. Чтобы понять, почему целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, что любое z = a + bω есть корень нормированного многочлена.

В частности, ω удовлетворяет уравнению

Произведение двух чисел Эйзенштейна и дает

Норма целого числа Эйзенштейна есть корень абсолютной величины

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

Норма целого числа Эйзенштейна всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

{±1, ±ω, ±ω²}

А это, как раз, целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Простые числа Эйзенштейна

Если x и y – целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое, что y = z x.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ux, где u – любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде x² − xy + y² (x, y – целые) и, поэтому, могут быть разложены (x + ωy)(x + ω²y), а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна a + bω, норма которого a² − ab + b² - натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Евклидово кольцо

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

Это может быть выведено следующим образом:

$\begin{align}N(a+b\,\omega) &=|a+b\,\omega|^2\\ &=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\ &=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\ &=a^2 - ab + b^2\end{align}$

Фактор-группа C по целым Эйзенштейна

Фактор-группа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна является комплексным тором фактической размерности 2, который является наибольшей степенью симметрии среди всех комплексных торов.

Смотрите также

Замечания

↑ Surányi László Algebra. — TYPOTEX, 1997. — P. 73. и Szalay Mihály Számelmélet. — Tankönyvkiadó, 1991. — P. 75. обе называют эти числа “Euler-egészek”, то есть, числами Эйлера.

External links

Eisenstein Integer--from MathWorld

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем