23-05-2023
В математике, разложением Шеннона или декомпозицией Шеннона по переменной называется метод представления булевой функции от переменных в виде суммы двух подфункций от остальных переменных. Хотя этот медот часто приписывают Клоду Шеннону, но Буль доказал его гораздо раньше, а сама возможность такого разложения по любой из переменной непосредственно вытекает из возможности определения любой булевой функции с помощью таблицы истинности.
Содержание |
Разложение Шеннона по переменной основано на том, что таблицу истинности для булевой функции от бинарных переменных можно разбить на две части таким образом, чтобы в первой части оказались только те входные комбинации, в которых переменная всегда принимает значение , а во второй части остались только те входные комбинации, в которых переменная всегда принимает значение (а её инвертированное значение принимает значение ). В результате становится справедливым следующее тождество, называемое разложением Шеннона:
где является разлагаемой булевой функцией, и являются неинвертированным и инвертированным значением переменной, по которой производится разложение, а и являются соответственно положительным и отрицательным дополнением для функции по переменной . В разложении Шеннона знаками и обозначены операции конъюнкции («И», AND) и дизъюнкции («ИЛИ», OR) соответственно, но тождество остается справедливым и при замене дизъюнкции на строгую дизъюнкцию (сложение по модулю 2, исключающее «ИЛИ», XOR), так как слагаемые никогда не принимают истинное значение одновременно (поскольку положительное дополнение объединено конъюнкцией с , а отрицательное дополнение объединено конъюнкцией с его инверсией ).
Положительное дополнение определяется той частью таблицы истинности, в которой переманная всегда принимает значение (а её инвертированное значение принимает значение ):
Отрицательное дополнение определяется оставшейся частью таблицы, в которой переманная всегда принимает значение (а инвертированное значение принимает значение ):
Теорема разложения Шеннона при всей своей очевидности является важной идеей в булевой алгебре для представления булевых функций в виде бинарных диаграмм решений, решения задачи выполнимости булевых формул и реализации множества других техник, относящихся к компьютерной инженерии и формальной верификации цифровых схем.
В статье "The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits"[1] Шеннон описал разложение функции по переменной как:
с последующим разложением по двум переменным, и отметил, что разложение может быть продолжено по любому количеству переменных.
Пусть дана булева функция от трех переменных , и , записанная в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, т.е. в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, каждая из которых содержит в одинаковом порядке каждую переменную или её дополнение (инверсию):
Для разложения по переменной эту функцию можно переписать в виде суммы:
получив разложение булевой функция по перменной путем простого применения свойства дистрибутивности для переменной и её дополнения (инверсии) :
Аналогично выполняется разложения функции по перменной или :
В свою очередь для каждой из оставшихся функций от меньшего числа переменных можно продолжить разложение по одной из оставшихся переменных.
Разложение Шеннона.