25-09-2023
Сублинейной функцией в математике называется функция над действительным векторным пространством (более общо вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:
Содержание |
Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:
Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:
Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.
Другое альтернативное определение: функция является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:
Функционал:
является сублинейным.
согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.
При это следует из определения положительной однородности, при — из первого свойства, если же , то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:
или:
Сублинейная функция.