Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Дальнейшие работы

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий^[2]. Более точно, для любого заданного полинома с целыми коэффициентами P₁,…, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

Численные результаты

18 января 2007 году Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел^[3]:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, меньших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

См. также

• Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
• Арифметическая комбинаторика

Примечания