В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Необходимые определения

Пусть  — конечная группа, а  — простое число, которое делит порядок . Подгруппы порядка называются -подгруппами. Выделим из порядка группы примарный делитель по , то есть , где не делится на . Тогда силовской -подгруппой называется подгруппа , имеющая порядок .

Теоремы

Пусть  — конечная группа. Тогда:

1. Силовская -подгруппа существует.
2. Всякая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе. Все силовские -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде , где  — элемент группы, а  — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю () и делит порядок .

Следствие

Если все делители , кроме 1, после деления на дают остаток, отличный от единицы, то в есть единственная силовская -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому не может быть простой.

Доказательства

Пусть pⁿ — примарный по p делитель порядка G.

1. Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) — центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс K_a, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pⁿr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем , а значит, , то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем .

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.