17-10-2023
Точки Лагра́нжа, точки либра́ции (лат. librātiō — раскачивание) или L-точки — точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, на которое не действуют никакие другие силы, кроме гравитационных сил со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.
Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении т. н. ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.
Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году обнаружил это явление.
Содержание |
Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L1, L2 и L3.
L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L2 — снаружи, за менее массивным телом и L3 — за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул[1][2]:
где ,
Точка L1 лежит на прямой соединяющей два тела с массами M1 и M2 (M1 > M2) и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M2 частично компенсирует гравитацию тела M1. При этом чем больше M2, тем дальше от него будет располагаться эта точка.
В системе Солнце-Земля точка L1 может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Например, Солнечная гелиосферная обсерватория (SOHO) движется по en:Halo orbit именно вокруг точки L1, вместе с двумя другими аппаратами en:Advanced Composition Explorer (ACE) и WIND.
Лунная точка L1 (в системе Земля-Луна) может стать идеальным местом для строительства пилотируемой орбитальной космической станции, которая, располагаясь на «полпути» между Землёй и Луной позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и нашим спутником.
Точка L2 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M1 и M2 (M1 > M2), и находится за телом с меньшей массой. Точки L1 и L2 располагаются на одной линии и в пределе M1 >> M2 симметричны относительно M2. В точке L2 гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.
Точка L2 в системе Солнце-Земля является идеальным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени)[3], так что солнечная радиация блокируется не полностью. В этой точке уже находятся аппараты американского и европейского космических агентств WMAP, Планк и космический телескоп Гершель. В 2012 году к ним может присоединиться телескоп Gaia, а в 2018 — Джеймс Вебб. Точка L2 в системе Земля-Луна может быть использована для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны, а также быть удобным местом для размещения заправочной станции для обеспечения грузопотока между Землёй и Луной[4]
Если M2 много меньше по массе, чем M1, то точки L1 и L2 находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M2, равном радиусу сферы Хилла :
где R — расстояние между компонентами системы.
Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M2, для которой период обращения в отсутствие M1 в раз меньше, чем период обращения M2 вокруг M1.
Точка L3 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M1 и M2 (M1 > M2), и находится за телом с большей массой. Так же, как для точки L2, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.
До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L3 другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземля», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако, с появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было показано, что эта гипотеза является ошибочной. На самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L3 в системе Солнце-Земля является крайне неустойчивой. Так, во время противостояний между Землёй и Венерой, которые случаются каждые 20 месяцев, последняя находится всего в 0,3 а. е. от точки L3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за несбалансированности центра тяжести системы Солнце-Юпитер относительно Земли и эллиптичности земной орбиты, так называемая Противоземля всё равно, время от времени, была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена.
Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи этой точки L3, могут постоянно следить и оперативно докладывать на Землю информацию о различных формах активности на поверхности Солнца, в частности, о появлении новых пятен или вспышек, и использоваться в качестве системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center с запасом времени до 7 дней. Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника[5]
Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M1 и M2, то точки L4 и L5 будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.
Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на барицентр системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до барицентра той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как барицентр является одновременно центром масс и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L4 и L5 называют треугольными (в отличие от коллинеарных).
Также точки называют троянскими: это название происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке L4 получают имена греков, а в точке L5 защитников Трои, поэтому их теперь так и называют «греками»(или «ахейцами») и «троянцами».
Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:
где
Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L1 слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.
Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L1 играет важную роль в тесных двойных звёздных системах. Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L1, поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через точку Лагранжа L1[11].
Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива[12].
В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M1/M2 > 24,96. При смещении объекта возникают силы Кориолиса, которые искривляют траекторию и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации[1].
Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L1 системы Земля—Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L2 подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L2 неосвещенной стороной. Точка L1 системы Земля—Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращенного к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землей.
В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены в различных точках Лагранжа Солнечной системы[12]:
Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто помещают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» Гарри Гаррисона, «Глубина в небе» Вернора Винджа, телесериал Вавилон-5.
Иногда в точки Лагранжа помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда, и «Нептунова арфа» Андрея Балабухи), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона). Айзек Азимов предлагал в точки Лагранжа отправлять радиоактивные отходы («Вид с высоты»).
Российская пост-рок-группа Mooncake назвала в честь точек Лагранжа свой альбом 2008 года.
Небесная механика | |
---|---|
Законы и задачи | Законы Ньютона | Закон всемирного тяготения | Законы Кеплера | Задача двух тел | Задача трёх тел | Гравитационная задача N тел | Задача Бертрана | Уравнение Кеплера |
Небесная сфера | Система небесных координат: галактическая • горизонтальная • первая экваториальная • вторая экваториальная • эклиптическая | Международная небесная система координат | Сферическая система координат | Ось мира | Небесный экватор | Прямое восхождение | Склонение | Эклиптика | Равноденствие | Солнцестояние | Фундаментальная плоскость |
Параметры орбит | Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет • большая полуось • средняя аномалия • долгота восходящего узла • аргумент перицентра | Апоцентр и перицентр | Орбитальная скорость | Узел орбиты | Эпоха |
Движение небесных тел |
Движение Солнца и планет по небесной сфере | Эфемериды | Конфигурации планет: противостояние • квадратура • парад планет| Кульминация | Сидерический период | Орбитальный резонанс | Период вращения | Предварение равноденствий | Синодический период | Сближение | Затмение: солнечное затмение • лунное затмение • сарос • Метонов цикл | Покрытие | Прохождение | Либрация | Элонгация | Эффект Козаи | Эффект Ярковского | Эффект Джанибекова |
Астродинамика | |
Космический полёт | Космическая скорость: первая (круговая) • вторая (параболическая) • третья • четвёртая | Формула Циолковского | Гравитационный манёвр | Гомановская траектория | Метод оскулирующих элементов | Приливное ускорение| Изменение наклонения орбиты | Стыковка | Точки Лагранжа | Эффект «Пионера» |
Орбиты КА | Геостационарная орбита | Гелиоцентрическая орбита | Геосинхронная орбита | Геоцентрическая орбита | Геопереходная орбита | Низкая опорная орбита | Полярная орбита | Тундра-орбита | Солнечно-синхронная орбита | Молния-орбита | Оскулирующая орбита |
Точки Лагранжа.