26-09-2023
Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):
Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где — расстояние до начала координат, а и — зенитный и азимутальный угол соответственно.
Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.
Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.
Содержание |
Три координаты определены как:
Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).
Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла , используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный — . Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой . В этом случае он будет изменяться в пределах .
Тогда углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при , (уже при или ).
Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:
Остальные равны нулю.
Сферическая система координат.