В классической механике уравнения Аппеля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 ^[1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка

Пусть задана механическая система из материальных точек с массами , на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1)

(2)

Требуется описать движение системы, если известны активные силы (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3)

где

- число геометрических степеней свободы системы;

- произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);

- "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении :

(4) - так называемая "энергия ускорений", в формуле (3) величина - функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) .

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной , производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты и могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6)

где

- число геометрических степеней свободы системы;

- система псевдокоординат;

- "обобщенные силы" - коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: ;

функция S - та же, что в (4), но выраженная через переменные (в обозначениях переменных только одна из точек - производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Примечания

Литература

Публикации П. Аппеля по данному вопросу

• PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
• PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

Дополнительная литература

• Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — М.: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.