06-06-2023
Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений для функций Грина в квантовой теории поля. Предложена Ю. Швингером в 1951. Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов с источником внешнего электромагнитного поля в минимальной форме — . За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):
где — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ обозначает хронологическое упорядочение операторов, — вариационная производная.
В итоге для двухточечной фермионной функции Грина
где — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:
где — матрицы Дирака, — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ):
где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам определить и называются уравнениями Швингера.
Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения
Величина называется производящим функционалом.
Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:
где — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.
Уравнения Швингера.