Функции Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Содержание

1 Применения
2 Определения
- 2.1 Функции Бесселя первого рода
  - 2.1.1 Интегралы Бесселя
- 2.2 Функции Неймана
3 Свойства
4 Соотношения
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
теплопроводность в цилиндрических объектах;
формы колебания тонкой круглой мембраны
распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики для :

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

Функции Неймана

Функции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .

Эта функция связана с следующим соотношением:

где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

Ниже приведён график для :

Свойства

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так:^[1]

$Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 \end{matrix} \right.$ ,

где — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:

$J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

Соотношения

Формула Якоби — Аигера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при , :^[2]

При , :^[2]

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных , выполняется^[3]

Интегральные выражения

Для любых и (в том числе комплексных) выполняется^[3]

Частным случаем последней формулы является выражение

См. также

Примечания

↑ Arfken, George B. and Hans J. Weber Mathematical Methods for Physicists. — 6th edition. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0
↑ ¹ ² Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15
↑ ¹ ² Лаврентьев, Шабат, 1974, с. 15

Литература

Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949. — Т. 1, 2.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — 2-е. — м.: Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем