22-10-2023
Функция Ландау в теории чисел, названная в честь немецкого математика Эдмунда Ландау, определяется для любого натурального числа n как наибольший порядок элемента симметрической группы .
Содержание |
Эквивалентные определения: равно наибольшему из наименьших общих кратных (НОК) по всем разбиениям числа n, или максимальному числа раз, которое подстановка из n элементов может быть последовательно применена до первого появления первоначальной последовательности. Таким образом, формально:
Например, 5 = 2 + 3 и НОК(2,3) = 6. Никакое другое разбиение не даёт бо́льшее наименьшее общее кратное, следовательно . Элемент порядка 6 в группе может быть записан в виде произведения двух циклов: (1 2) (3 4 5).
Целочисленная последовательность g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … — последовательность A000793 в OEIS, названа в честь Эдмунда Ландау, доказавшего в 1902[1], что
(где ln обозначает натуральный логарифм).
При этом локальные максимумы этого выражения случаются при n=2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (последовательность A103635 в OEIS).
Утверждение о том, что
для всех n, где обозначает обратную функцию к интегральному логарифму, эквивалентно гипотезе Римана.
Другие соотношения:
Функция Ландау.