Число Грэма (Грехема, англ. Graham's number) — большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.).

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема (предполагается, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка). Даже степенные башни вида бесполезны для этой цели, хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких как стрелочная нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грехемом. Последние 50 цифр числа Грехема — это ...03222348723967018485186439059104575627262464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грехема, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала.

Проблема Грехема

Число Грехема связано со следующей проблемой в теории Рамсея:

Рассмотрим -мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

Грехем и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, , и показали что , где  — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как , где .

Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что должно быть не меньше 13. Таким образом, .

Предметом настоящей статьи является верхняя граница , которая много слабее (то есть больше), чем : , где . Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.

Определение числа Грехема

При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грехема G может быть записано как

где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть

где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем с четырьмя стрелками между тройками, на втором — с стрелками между тройками, на третьем — с стрелками между тройками и так далее; в конце мы вычисляем с стрелок между тройками.

Это может быть записано как

где верхний индекс у означает итерации функций. Функция является частным случаем гипероператоров и может также быть записана при помощи цепных стрелок Конвея как . Последняя запись также позволяет записать следующие граничные значения для :

Масштаб числа Грехема

Для того, чтобы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g₁) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетраций означает:

где число троек в выражении справа

Теперь каждая тетрация () по определению разворачивается в «степенную башню» как

, где X — количество 3-ек.

Таким образом,

, где количество троек — .

Оно может быть записано на языке степеней:

, где число башен — ,

где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.

Другими словами, вычисляется путём вычисления количества башен, (где число троек — = 7625597484987), и затем вычисления башен в следующем порядке:

1-я башня: 3

2-я башня: 3↑3↑3 (количество троек — 3) = 7625597484987

3-я башня: 3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек — 7625597484987) = ...

.

.

.

= -я башня: 3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек задаётся результатом вычисления -й башни)

Масштаб первого члена, , настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя — это всего лишь количество башен в этой формуле для , уже это число много больше количества объёмов Планка, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно ). После первого члена нас ожидают ещё 63 члена стремительно растущей последовательности.

См. также

• Теорема Краскала
• Функция Аккермана

Литература

• Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets». Transactions of the American Mathematical Society 159: 257-292. 10.2307/1996010. The explicit formula for N appears on p. 290.
• Graham, R. L.; Rothschild, B.L. (1978). «Ramsey Theory», Studies in Combinatorics, Rota, G.-G., ed., Mathematical Association of America, 17:80-99. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.
• Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». Scientific American 237: 18-28.; reprinted (revised 2001) in the following book:
• Gardner Martin. The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York, NY: Norton, 2001. — ISBN 0393020231.
• Gardner Martin. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1989. — ISBN 0-88385-521-6.
• Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete Computational Geometry 29: 223-227. 10.1007/s00454-002-0780-5.

Ссылки

• «Проблема Рамсея о гиперкубах». Geoff Exoo (англ.)
• Weisstein, Eric W. Graham’s number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Как вычислить число Грэма (англ.)
• Numeropedia — the Special Encyclopedia of Numbers (англ.)