4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени^[1].

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так^[2]:

,

где — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора , например для 4-тензора второго ранга

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

• метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
• тензор кривизны
• тензор Риччи
• тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала^[3]:

.

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

,

где — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. также

• 4-импульс
• 4-скорость
• 4-потенциал
• 4-ток
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса
• Тензор Эйнштейна
• Метрика пространства-времени

Примечания

Внешние ссылки

• Глава 8 Релятивистская динамика 8.8. Cвойства тензоров и момент импульса частицы.(недоступная ссылка — история) Проверено 10 июня 2009.
• ЛЕКЦИЯ 20 Четырехмерные векторы и тензоры II ранга.. Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе (22 февраля 2002 года).(недоступная ссылка — история) Проверено 10 июня 2009.