Теорема о 9 точках на куби́ке — теорема аналитической геометрии, которая гласит, что^[1]

Если 8 из 9 точек пересечения двух троек прямых (на рисунке справа — синих и красных) лежат на куби́ке (кривой третьего порядка, чёрной), то девятая тоже лежит на ней.

Доказательство

Ниже приведено простое доказательство, использующее исключительно факты из школьной программы. Оно состоит из трёх частей: двух лемм и собственно теоремы^[1].

Лемма 1

Если многочлен от двух переменных в бесконечном числе точек на прямой принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть .

Обозначим . В условии задана прямая, поэтому либо , либо не равно 0. Будем считать, что это , тогда , а . На прямой многочлен , но при этом может принимать бесконечное число различных значений, поэтому , а значит . ■

Лемма 2

Если кубики и пересекаются в трёх точках на прямой , то существует такое число , что .

Аналогично лемме 1 будем считать, что , тогда для точек прямой выполняется равенство , аналогично . Многочлены и равны 0 в трёх общих точках, их степень не выше 3, поэтому существует такое число , что для всех точек на этой прямой. Применив лемму 1, получаем доказываемое утверждение. ■

Доказательство теоремы

В дальнейшем для краткости параметры многочленов будут опущены. Обозначим уравнение чёрной кубики за , красный прямых за и , а красной кубики за . Аналогично для синих прямых и кубики . При этом будем считать нумерацию такой, что необходимо доказать принадлежность точки пересечения кубике .

Применив для прямой и кубик и лемму 2, получаем, что существует число , для которого . Аналогично существует такое , что . Тогда многочлен третьей степени делится на и , то есть . Многочлен равен нулю для всех точек прямой , прямые и общего положения, а значит принимает значение 0 ровно в одной точек прямой . Поэтому равно нулю в бесконечном числе точек прямой и по лемме 1 делится на её уравнение. Таким образом , а значит , где  — многочлен степени не выше первой, то есть прямая или нуль.

Предположим, что  — прямая. Левая часть равенства равна нулю в точках и , а значит один из трёх множителей в правой части также равен нулю. Но прямые и не проходят через эти точки, поэтому все они лежат на одной прямой — . Но это невозможно.

Таким образом , а значит . Но кубики и проходят через точку , а значит и кубика проходит через эту точку. ■

Применение

С помощью теоремы о 9 точках просто доказываются некоторые факты из проективной геометрии, например теорема Паскаля:

Если шестиугольник вписан в коническое сечение, то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

На рисунке справа шестиугольник с 3 красными и 3 синими сторонами вписан в чёрную параболу. Красные и синие прямые пересекаются в 9 зелёных точках, 6 из которых лежат на параболе, а через 2 другие проведена чёрная прямая. Поскольку чёрная кубика, содержит 8 зелёных точек, образованных пересечением красной и синей кубик, она содержит и девятую точку. Но эта точка не лежит на параболе, а значит она принадлежит прямой. ■

Также она может использоваться для доказательства ассоциативности операции сложения точек на эллиптической кривой^[2].

Теорема Шаля

Теорема Шаля — обобщение для случая, когда взяты не тройки прямых, а произвольные кубики^[3]:

Если в проективной плоскости две кубики имеют 9 общих точек, то любая другая кубика, проходящая через 8 из них, проходит и через девятую.

Примечания