В механике и геометрии группа вращения является набором всех вращений вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3, SO(3)).
- Иногда группами вращений называют все SO(n), имея в виду, что SU(n) - группа вращений пространства .
Свойства
- Группа вращений некоммутативна.
- Группа вращений является группой Ли.
- Группа SO(3) диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором ), проходящей через центр координат, и углом . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам и соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
- Универсальная накрывающая группы SO(3) является специальной унитарной группой SU(2), или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
См. также