Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество ${\displaystyle U}$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4], для синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5], построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6], для получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи ${\displaystyle n}$ фигур изображают все ${\displaystyle 2^{n}}$ комбинаций ${\displaystyle n}$ свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При ${\displaystyle n=3}$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

• диаграмма Эйлера

• диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

• Карта Карно
• Диаграммы Вейча

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эпизод 412 сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для ${\displaystyle n=5,\;7,\;11}$.
• Построение диаграмм Венна on-line для ${\displaystyle n=3,4,5}$ и исходный код.

Литература

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
• Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.