26-06-2023
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём
Выражение называют квадратным трёхчленом.
Корень такого уравнения — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уроавнение в тождество.
Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения.
Приведённым называют такое квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :
Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Общая формула вычисления корней:
,
где — коэффициенты;
Подкоренное выражение называется дискриминантом
Для уравнений вида ,
то есть при чётном
где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение
Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном .
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)
Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
Формулу можно получить следующим образом:
Умножаем каждую часть на и прибавляем :
где
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).
Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
Если уравнение записать в виде , то формула будет ещё проще:
Мнемонические правила:
«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Cводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[1] q.
p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену :
В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения :
Мнемоническое правило
Познакомили поэта
С теоремою Виета,
Оба корня он сложил —
Минус p он получил,
А корней произведение
Даёт q из уравнения.
Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.
В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения .
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:
Если , то уравнение принимает вид:
Такое уравнение называется биквадратным[2].
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:
Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:
Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:
Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:
Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.
Квадратное уравнение.