28-05-2023
Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.
Ковариантная производная тензорного поля в направлении касательного вектора обычно обозначается .
Содержание |
Для скалярной функции ковариантная производная совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля .
Ковариантная производная векторного поля по направлению векторного поля , обозначаемая определяется по следующим свойствам, для любого вектора , векторных полей , и скалярных функций и :
Заметим, что в точке зависит только от значения в точке и от значений в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).
Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) , его ковариантная производная может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей
Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля — тоже ковекторное поле.
Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.
Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ( и — произвольные тензоры):
Если и — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:
Пусть тензорное поле типа задано своими компонентами в некоторой локальной системе координат , причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа , который определяется по формуле:
где — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.
Ковариантная производная векторного поля имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,
Ковариантная производная скалярного поля совпадает с частной производной,
а ковариантная производная ковекторного поля -
Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:
В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).
Ковариантная производная тензорного поля типа равна
то есть
Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна
наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа ,
Ковариантная производная.