Параллелоэдр ― выпуклый многогранник, параллельным перенесением которого можно замостить пространство, то есть покрыть евклидово пространство так, чтобы многогранники не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой.

Примеры и свойства

• Параллелоэдрами являются например области Дирихле — Вороного решёток в евклидовом пространстве.

• На плоскости существует две разновидности параллелоэдров: параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники.

• В трёхмерном пространстве существует ровно пять топологических типов параллелоэдров: куб, 6-угольная призма, ромбододекаэдр, «двусторонне заточенный карандашик» (см. рисунок) и усечённый октаэдр.

• Все параллелоэдры (любой размерности) являются центрально-симметричными многогранниками. Все гиперграни параллелоэдра также центрально-симметричны.

• В двумерном и трёхмерном случаях все параллелоэдры являются зоноэдрами. Обратно, любой зоноэдр, имеющий один из описанных топологических типов, является параллелоэдром.
• Уже в четырёхмерном пространстве не все параллелоэдры являются зоноэдрами.

История

Начало теории параллелоэдров было положено в XIX веке трудами Федорова и Минковского. Замечательный вклад в нее внес Вороной, доказав, что всякий примитивный параллелоэдр аффинно эквивалентен DV-области некоторой решётки. В XX веке теорию параллелоэдров развивали Делоне, Б. А. Венков, Рышков, П. Макмаллен (P. Macmallen) и другие.

В последнее время изучение всех решетчатых параллелоэдров сведено к изучению так называемых коренных параллелоэдров, которые образуют в некотором роде базис параллелоэдров. Теорема о представлении любого решетчатого параллелоэдра в виде суммы Минковского конечного числа коренных параллелоэдров была сформулирована С. С. Рышковым. Подробное доказательство этой теоремы дано в совместной статье С. С. Рышкова и Е. А. Большаковой.