В статистической физике, уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение броуновской частицы массы выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы (Закон Стокса), шумового члена (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и  — систематической силы, возникающей при внутримомекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

Решение уравнения

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

где b — некоторая константа, которую мы определим позже,  — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

где

Пусть в начальный момент времени частица имела скорость . Будем искать решение в виде: , тогда для получим следующее дифференциальное уравение:

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

Из него следуют два важных соотношения:

1. . То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. . Средний квадрат скорости со временем стремится к значению . Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента :

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

где B — подвижность броуновской частицы.

Ссылки

• W. T. Coffey, Yu P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation