20-10-2023
В комплексном анализе аналитическим продолжением функции , определённой на множестве , называется аналитическая функция, которая:
Автором данного термина и базового метода аналитического продолжения является Карл Вейерштрасс (начиная с 1842 года).
Содержание |
Задача нахождения аналитического продолжения функции, определённой на некотором множестве, заключается в таком распространении определения этой функции на возможно более широкую область, при котором она была бы аналитической и в новой области. Простейшим примером аналитического продолжения может служить переход от функций действительного переменного (то есть функций, определённых только на действительной оси) к функциям комплексного переменного, аналитическим во всей (или почти во всей) плоскости и совпадающим с соответствующими функциями действительного переменного при действительных значениях аргумента.
Для каждой конкретной аналитической функции существование и единственность аналитического продолжения определяются теоремой единственности
Для самых элементарных функций, таких, как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется с множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет внутренних точек.
Для более сложных случаев применяются более искусственные приемы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге ряд Тейлора, где — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге функция . Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку — так как в этой точке функция аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге . Если для нового радиуса сходимости выполнено соотношение , то уже будут существовать точки, принадлежащие , но не принадлежащие , а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в , продолжена на некоторое большее множество, а именно на . В случае, если такое невозможно, то окружность будет естественной границей аналитического продолжения. Дальнейшее развитие этого метода приведет нас к основополагающему понятию ростка.
Далее, для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берется некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на большую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана.
Приведенные выше построения являются интуитивно понятными — это их сила и это их слабость. Элементарная теория оправдывает себя лишь в случае взаимно однозначных отображений, образующих малый подкласс аналитических функций. Строгое построение требует введения массы дополнительных понятий.
Теперь мы будем отталкиваться уже не от понятия аналитической функции, а от более чёткого определения аналитического элемента.
Элементы и называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей , если существует последовательность элементов и выполняются следующие три условия:
Мы снова вернулись к понятию ростка. Действительно, теперь росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы будут использоваться далее, они имеют собственное название — канонические элементы и обозначения, заимствованные от аналитических элементов, а не от ростков. Обозначаться канонические элементы будут в виде , где — круг сходимости ряда, а — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.
Построение продолжения относительно цепочки областей дискретно. В некотором роде в теории аналитического продолжения нам сейчас нужно осуществить переход, который равносилен переходу от последовательности к функции.
Рассмотрим канонический элемент с центром в точке и некоторую непрерывную жорданову кривую , обладающую свойством . Для краткости обозначим .
Предположим, что существует семейство канонических элементов с ненулевыми радиусами сходимости, такое, что — центр элемента и для произвольного существует такая окрестность (понимаемая в смысле окрестностей на вещественной прямой), удовлетворяющая условию ; тогда, если для любого элемент является непосредственным продолжением элемента , то считается, что элемент таким образом аналитически продолжается вдоль пути .
Выбирать семейство областей можно произвольным образом, так как можно доказать, что результат аналитического продолжения не зависит от выбора семейства областей.
Достаточно интересным свойством обладает также функция — радиус круга сходимости . Для семейства, упомянутого в определении продолжения вдоль пути, функция будет непрерывна в смысле вещественного анализа на .
Собственно, осталось связать определение аналитического продолжения через цепочку областей и аналитического продолжения вдоль пути. Это очень просто. Допустим, что канонический элемент получен из элемента путем аналитического продолжения вдоль некоторого пути через промежуточное семейство элементов . Тогда, если выбрать некоторую возрастающую последовательность элементов отрезка , где круги и будут пересекаться, то элемент будет аналитическим продолжением элемента через цепочку областей .
Одним из самых интересных результатов будет теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения и её следствие — теорема о монодромии.
Развив аппарат аналитического продолжения вдоль путей, теперь можно перейти от изначальной аналитической функции через аналитические и канонические элементы к более общему понятию — полной аналитической функции. Таким термином будет обозначаться совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого-либо первоначального элемента методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое продолжение и берущих начало в точке — центре элемента .
Немного проясняет внутреннее устройство такого весьма абстрактного понятия теорема Пуанкаре — Вольтерры, гласящая, что в каждой точке своей области определения полная аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество элементов с центром в этой точке.
Важность понятия полной аналитической функции состоит в том, что оно позволяет с более общей точки зрения изучить понятие особой точки. А именно, особые точки для полной аналитической функции — просто точки границы области её определения. В зависимости от поведения функции в окрестности этих точек определяется их характер.
Рассмотрим некоторую особую точку для полной аналитической функции и некоторую её проколотую окрестность , принадлежащую области определения . Теперь выберем какую-нибудь замкнутую жорданову кривую . Если аналитическое продолжение вдоль кривой приводит к тому же элементу, то точка называется особой точкой однозначного характера и интерпретируется, как просто изолированная особая точка; если же результатом аналитического продолжения будет уже другой элемент, то точка называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.
Для степенного ряда
у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов удовлетворяет
для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром z0 и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.
Аналитическое продолжение.