22-04-2023
Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при . Если , то функция определена также и при , иначе ноль является её особой точкой.
Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: (полукубическая парабола).
Степенная функция комплексного переменного z в общем виде определяется формулой[3]:
Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение равно где k — произвольное целое, а его главное значение есть
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
Степенная функция.