Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица , для которой выполнено .

Свойства

• Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
• -матрица инволютивна тогда и только тогда, когда  — идемпотентная матрица.
• Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
• Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
• Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
• Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьим^[1].

Примеры

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Единичная матрица инволютивна.

Другие примеры инволютивных матриц:

(матрица, меняющая строку местами)

(матрица знака).

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

.

См. также

• Инволюция
• Идемпотентность

Примечания

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.