26-09-2023
В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:
Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. |
Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.
Содержание |
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
Разделение по принятию континуум-гипотезы или её отрицания в качестве дополнительной аксиомы привело к созданию так называемых канторовской теории множеств и неканторовскойординалов может выполняться равенство Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).
теории множеств . В рамках последней теории имеет смысл задавать вопрос: для какихИзвестно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала выполняется равенство или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество S, найдётся подмножество, равномощное булеану 2S.[5]
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.
Проблемы Гильберта | |
---|---|
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 |
Континуум-гипотеза.