18-10-2023
Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема связана с определении всех реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского, Римана) с точностью до изоморфизма, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и пополнить эти системы аксиомой «неравенство треугольника». Проблему решил Георг Хамель.
Сам Гильберт считал проблему расплывчатой и нечётко поставленной[1]. Гильберт называл эту проблему «Проблемой о прямой как кратчайшем соединении двух точек» и характеризовал её так[1]:
«Так проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых на поверхностях, в механике и в вариационном исчислении…
Более общий вопрос, возникающий при этом заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии…»
Задачей перечисления и описания таких метрик занимались многие математики. Монографию, посвящённую этой проблеме, написал А. В. Погорелов.
| Проблемы Гильберта | |
|---|---|
| 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 |
| Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Четвёртая проблема Гильберта.