Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильбета, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:
|
Пусть дана рациональная функция от переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?
|
Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.
Вариации и обобщения
- Интересно отметить тот факт (учтённый в формулировке семнадцатой проблемы Гильберта), что существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Первые явные примеры таких многочленов был даны Т. Моцкиным (англ.) в 1967 году: многочлены и не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
- Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.[1]
- С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
- Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.[2]
Примечания
- An algorithm for sums of squares of real polynomials». Journal of pure and applied algebra 127 (1): 99-104. 10.1016/S0022-4049(97)83827-3.
- A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials». SIAM Rev. 49 (4): 651-669. 10.1137/070693709.
Литература
- Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
- Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
- C. N. Delzell (1984). «A continuous, constructive solution to Hilbert’s 17th problem». 10.1007/BF01388465.