08-07-2023
Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.[1]
Однако, вскоре после постановки выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебры инвариантов. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример[1]. Им была построена[2] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно-порождённой. Эта конструкция была затем упрощена[1] Стернбергом в его работе[3] 1997 года.
Содержание |
|
Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры , где — порождённое поле. Поскольку всякое промежуточное поле является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:
Пусть — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра конечно порождена?[1]
Проблемы Гильберта | |
---|---|
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 |
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Четырнадцатая проблема Гильберта.