15-10-2023
Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом[1], однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.[2] Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).
Содержание |
Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной группы симметрий. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид
где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на вектор-потенциал калибровочной группы:
где под понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.
Генераторы алгебры Ли калибровочной группы удовлетворяют соотношению
где называются структурными константами группы.
Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как
где — единичный оператор, а — это константа взаимодействия. В четырехмерном пространстве-времени константа взаимодействия — это безразмерная величина. Для SU(N) групп
Вышеприведённое определение может быть получено, исходя из коммутатора
Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения
называются полулинейными. В случае малой константы связи в данной теории применима теория возмущений.
Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца .
С введением , уравнения движения можно переписать так
Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки
Источник входит в уравнения движения как
Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.
Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.
Теория Янга — Миллса.