30-06-2023
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.
Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:
а логический ноль 0 и логическая единица 1 — константы.
Так же используются названия
Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом () либо в виде черты над операндом (), что компактнее, но в целом менее заметно.
Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:
Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать[неопределённость], что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.
Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквиваленция («тогда и только тогда, когда»), импликация («следовательно»), сложение по модулю два («исключающее или»), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.
Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).
Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено»), комплексную логику и др.
Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки
Своим существованием наука «алгебра логики» обязана английскому математику Джорджу Булю, который исследовал логику высказываний. Первый в России курс по алгебре логики был прочитан П. С. Порецким в Казанском государственном университете.
Логика | |
---|---|
Формальная |
Логические операции с понятиями Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление |
Математическая (теоретическая, символическая) |
Логические связки (операции) над высказываниями Высказывание - построение над множеством {B, , , , 0, 1} |
См. также | импликация () • Круги Эйлера/Диаграмма Венна • Теория множеств |
Двоичная логика.